NumPy 線性代數(shù)

    NumPy 線性代數(shù)的實例

numpy.dot()

numpy.dot() 對于兩個一維的數(shù)組，計算的是這兩個數(shù)組對應(yīng)下標元素的乘積和(數(shù)學(xué)上稱之為內(nèi)積)；對于二維數(shù)組，計算的是兩個數(shù)組的矩陣乘積；對于多維數(shù)組，它的通用計算公式如下，即結(jié)果數(shù)組中的每個元素都是：數(shù)組a的最后一維上的所有元素與數(shù)組b的倒數(shù)第二位上的所有元素的乘積和： dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

   numpy.dot(a, b, out=None)

參數(shù)說明：

a : ndarray 數(shù)組 b : ndarray 數(shù)組 out : ndarray, 可選，用來保存dot()的計算結(jié)果

 import numpy.matlib
 import numpy as np
 a = np.array([[1,2],[3,4]])
 b = np.array([[11,12],[13,14]])
 print(np.dot(a,b))

輸出結(jié)果為：

 [[37 40] 
 [85 92]]

計算式為：

[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

numpy.vdot()

numpy.vdot() 函數(shù)是兩個向量的點積。 如果第一個參數(shù)是復(fù)數(shù)，那么它的共軛復(fù)數(shù)會用于計算。 如果參數(shù)是多維數(shù)組，它會被展開。

 import numpy.matlib
 import numpy as np
 a = np.array([[1,2],[3,4]]) 
 b = np.array([[11,12],[13,14]]) 
  
 # vdot 將數(shù)組展開計算內(nèi)積
 print (np.vdot(a,b))

輸出結(jié)果為：

 130

計算式為：

1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

numpy.inner()

numpy.inner() 函數(shù)返回一維數(shù)組的向量內(nèi)積。對于更高的維度，它返回最后一個軸上的和的乘積。

 import numpy.matlib
 print (np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0])))
 # 等價于 1*0+2*1+3*0

輸出結(jié)果為：

   2

 import numpy as np 
 a = np.array([[1,2], [3,4]]) 
  
 print ('數(shù)組 a：')
 print (a)
 b = np.array([[11, 12], [13, 14]]) 
  
 print ('數(shù)組 b：')
 print (b)
  
 print ('內(nèi)積：')
 print (np.inner(a,b))

輸出結(jié)果為：

 數(shù)組 a：
 [[1 2]
  [3 4]]
 數(shù)組 b：
 [[11 12]
  [13 14]]
 內(nèi)積：
 [[35 41]
  [81 95]]
 數(shù)組 a：
 [[1 2]
  [3 4]]
 數(shù)組 b：
 [[11 12]
  [13 14]]
 內(nèi)積：
 [[35 41]
  [81 95]]

內(nèi)積計算式為：

 1*11+2*12, 1*13+2*14 
 3*11+4*12, 3*13+4*14

numpy.matmul

numpy.matmul 函數(shù)返回兩個數(shù)組的矩陣乘積。 雖然它返回二維數(shù)組的正常乘積，但如果任一參數(shù)的維數(shù)大于2，則將其視為存在于最后兩個索引的矩陣的棧，并進行相應(yīng)廣播。

另一方面，如果任一參數(shù)是一維數(shù)組，則通過在其維度上附加 1 來將其提升為矩陣，并在乘法之后被去除。

對于二維數(shù)組，它就是矩陣乘法：

 import numpy.matlib 
 import numpy as np 
  
 a = [[1,0],[0,1]] 
 b = [[4,1],[2,2]] 
 print (np.matmul(a,b))

輸出結(jié)果為：

   [[4 1] 
  [2 2]]

二維和一維運算：

 import numpy.matlib 
 import numpy as np 
  
 a = [[1,0],[0,1]] 
 b = [1,2] 
 print (np.matmul(a,b))
 print (np.matmul(b,a))

輸出結(jié)果為：

 [1 2] 
 [1 2]

維度大于二的數(shù)組 ：

 import numpy.matlib 
 import numpy as np 
  
 a = np.arange(8).reshape(2,2,2) 
 b = np.arange(4).reshape(2,2) 
 print (np.matmul(a,b))

輸出結(jié)果為：

   [[[ 2 3]
   [ 6 11]]
  [[10 19]
   [14 27]]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 函數(shù)計算輸入矩陣的行列式。

行列式在線性代數(shù)中是非常有用的值。 它從方陣的對角元素計算。 對于 2×2 矩陣，它是左上和右下元素的乘積與其他兩個的乘積的差。

換句話說，對于矩陣[[a，b]，[c，d]]，行列式計算為 ad-bc。 較大的方陣被認為是 2×2 矩陣的組合。

import numpy as np
a = np.array([[1,2], [3,4]]) 
  
print (np.linalg.det(a))

輸出結(jié)果為：

-2.0

 import numpy as np
  
 b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) 
 print (b)
 print (np.linalg.det(b))
 print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))

輸出結(jié)果為：

   [[ 6 1 1]
  [ 4 -2 5]
  [ 2 8 7]]
 -306.0
 -306

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve() 函數(shù)給出了矩陣形式的線性方程的解。

考慮以下線性方程：

 x + y + z = 6
 2y + 5z = -4
 2x + 5y - z = 27

可以使用矩陣表示為：

如果矩陣成為A、X和B，方程變?yōu)椋?/p>

 AX = B
 或
 X = A^(-1)B

numpy.linalg.inv()

numpy.linalg.inv() 函數(shù)計算矩陣的乘法逆矩陣。

逆矩陣（inverse matrix）：設(shè)A是數(shù)域上的一個n階矩陣，若在相同數(shù)域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。注：E為單位矩陣。

 import numpy as np 
  
 x = np.array([[1,2],[3,4]]) 
 y = np.linalg.inv(x) 
 print (x)
 print (y)
 print (np.dot(x,y))

輸出結(jié)果為：

 [[1 2]
  [3 4]]
 [[-2. 1. ]
  [ 1.5 -0.5]]
 [[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
  [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]

現(xiàn)在創(chuàng)建一個矩陣A的逆矩陣:

 import numpy as np 
  
 a = np.array([[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]]) 
  
 print ('數(shù)組 a：')
 print (a)
 ainv = np.linalg.inv(a) 
  
 print ('a 的逆：')
 print (ainv)
  
 print ('矩陣 b：')
 b = np.array([[6],[-4],[27]]) 
 print (b)
  
 print ('計算：A^(-1)B：')
 x = np.linalg.solve(a,b) 
 print (x)
 # 這就是線性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解

輸出結(jié)果為：

 數(shù)組 a：
 [[ 1 1 1]
  [ 0 2 5]
  [ 2 5 -1]]
 a 的逆：
 [[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
  [-0.47619048 0.14285714 0.23809524]
  [ 0.19047619 0.14285714 -0.0952381 ]]
 矩陣 b：
 [[ 6]
  [-4]
  [27]]
 計算：A^(-1)B：
 [[ 5.]
  [ 3.]
  [-2.]]

   x = np.dot(ainv,b)