到目前為止，我們已經(jīng)看到所有示例都可以在MATLAB及其GNU（也稱為Octave）中運(yùn)行。但是，為了求解基本的代數(shù)方程，MATLAB和Octave幾乎沒有什么不同，因此我們將嘗試在單獨的部分中介紹MATLAB和Octave。
我們還將討論代數(shù)表達(dá)式的分解和簡化。
solve函數(shù)用于求解代數(shù)方程。最簡單的形式是，solve函數(shù)將用引號引起來的方程式作為參數(shù)。
例如，讓我們求解方程x-5 = 0中的x
solve('x-5=0')MATLAB將執(zhí)行上述語句并返回以下結(jié)果-
ans = 5
您也可以將Solve函數(shù)稱為-
y = solve('x-5 = 0')MATLAB將執(zhí)行上述語句并返回以下結(jié)果-
y = 5
您甚至可能不包括等式的右側(cè)-
solve('x-5')MATLAB將執(zhí)行上述語句并返回以下結(jié)果-
ans = 5
如果方程式包含多個符號，則默認(rèn)情況下MATLAB會假定您正在求解x，但是，solve函數(shù)具有另一種形式-
solve(equation, variable)
在這里，您還可以提及變量。
例如，讓我們求解v的方程v – u – 3t 2 =0。在這種情況下，我們應(yīng)該寫-
solve('v-u-3*t^2=0', 'v')MATLAB將執(zhí)行上述語句并返回以下結(jié)果-
ans = 3*t^2 + u
roots函數(shù)用于求解Octave中的代數(shù)方程式，您可以編寫以下示例，如下所示：
例如，讓我們求解方程x-5 = 0中的x
roots([1, -5])
Octave將執(zhí)行以上語句并返回以下結(jié)果-
ans = 5
您也可以將Solve函數(shù)稱為-
y = roots([1, -5])
Octave將執(zhí)行以上語句并返回以下結(jié)果-
y = 5
solve函數(shù)還可以求解高階方程。它通常用于求解二次方程。該函數(shù)以數(shù)組形式返回方程式的根。
以下示例解決了二次方程x 2 -7x +12 =0。創(chuàng)建腳本文件并鍵入以下代碼-
eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));運(yùn)行文件時，它顯示以下結(jié)果-
The first root is: 3 The second root is: 4
下面的示例以O(shè)ctave求解二次方程x 2 -7x +12 = 0。創(chuàng)建一個腳本文件并輸入以下代碼-
s = roots([1, -7, 12]);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));運(yùn)行文件時，它顯示以下結(jié)果-
The first root is: 4 The second root is: 3
solve函數(shù)還可以求解高階方程。例如，讓我們求解一個三次方程為(x-3)2(x-7)= 0
solve('(x-3)^2*(x-7)=0')MATLAB將執(zhí)行上述語句并返回以下結(jié)果-
ans = 3 3 7
對于高階方程，根長包含許多項。您可以通過將此類根轉(zhuǎn)換為double來獲得其數(shù)值。以下示例解決了四階方程x 4 ? 7x 3 + 3x 2 ? 5x + 9 = 0。
創(chuàng)建一個腳本文件并輸入以下代碼-
eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));
%將根轉(zhuǎn)換為double類型
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));運(yùn)行文件時，它返回以下結(jié)果-
The first root is: 6.630396332390718431485053218985 The second root is: 1.0597804633025896291682772499885 The third root is: - 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i The fourth root is: - 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i Numeric value of first root 6.6304 Numeric value of second root 1.0598 Numeric value of third root -0.3451 - 1.0778i Numeric value of fourth root -0.3451 + 1.0778i
請注意，最后兩個根是復(fù)數(shù)。
以下示例解決了四階方程x 4 ? 7x 3 + 3x 2 ? 5x + 9 = 0。
創(chuàng)建一個腳本文件并輸入以下代碼-
v = [1, -7, 3, -5, 9];
s = roots(v);
%將根轉(zhuǎn)換為double類型
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));運(yùn)行文件時，它返回以下結(jié)果-
Numeric value of first root 6.6304 Numeric value of second root -0.34509 + 1.07784i Numeric value of third root -0.34509 - 1.07784i Numeric value of fourth root 1.0598
solve函數(shù)還可用于生成涉及多個變量的方程組的解。讓我們舉一個簡單的實例來演示這種用法。
讓我們求解方程式-
5x + 9y = 5
3x – 6y = 4
創(chuàng)建一個腳本文件并輸入以下代碼-
s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
s.x
s.y運(yùn)行文件時，它顯示以下結(jié)果-
ans = 22/19 ans = -5/57
同樣，您可以求解更大的線性系統(tǒng)?？紤]以下一組方程式-
x + 3y -2z = 5
3x + 5y + 6z = 7
2x + 4y + 3z = 8
我們有一些不同的方法來求解n個未知數(shù)中的n個線性方程組。讓我們舉一個簡單的實例來演示這種用法。
讓我們求解方程式-
5x + 9y = 5
3x – 6y = 4
這樣的線性方程組可以寫成單矩陣方程Ax = b，其中A是系數(shù)矩陣，b是包含線性方程右側(cè)的列向量，x是表示解的列向量，如下所示：在下面的程序中顯示-
創(chuàng)建一個腳本文件并輸入以下代碼-
A = [5, 9; 3, -6]; b = [5;4]; A \ b
運(yùn)行文件時，它顯示以下結(jié)果-
ans = 1.157895 -0.087719
同樣，您可以解決較大的線性系統(tǒng)，如下所示-
x + 3y -2z = 5
3x + 5y + 6z = 7
2x + 4y + 3z = 8
expand和collect分別用來展開和收集一個方程。以下示例演示了概念-
當(dāng)使用許多符號函數(shù)時，應(yīng)聲明變量是符號性的。
創(chuàng)建一個腳本文件并輸入以下代碼-
syms x %符號變量x syms y %符號變量y %擴(kuò)展方程 expand((x-5)*(x+9)) expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7)) expand(sin(2*x)) expand(cos(x+y)) %收集方程式 collect(x^3 *(x-7)) collect(x^4*(x-3)*(x-5))
運(yùn)行文件時，它顯示以下結(jié)果-
ans = x^2 + 4*x - 45 ans = x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210 ans = 2*cos(x)*sin(x) ans = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) ans = x^4 - 7*x^3 ans = x^6 - 8*x^5 + 15*x^4
您需要擁有一個symbolic軟件包，該軟件包分別提供expand和collect函數(shù)來擴(kuò)展和收集方程式。以下示例演示了概念-
當(dāng)使用許多符號函數(shù)時，應(yīng)聲明變量是符號變量，但是Octave定義符號變量的方法不同。注意使用Sin和Cos，它們也在符號包中定義。
創(chuàng)建一個腳本文件并輸入以下代碼-
%首先，加載包，確保它已安裝。
pkg load symbolic
%使symbols模塊可用
symbols
%定義符號變量
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');
%擴(kuò)展方程
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))
%收集方程式
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)運(yùn)行文件時，它顯示以下結(jié)果-
ans = -45.0+x^2+(4.0)*x ans = 210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x ans = sin((2.0)*x) ans = cos(y+x) ans = x^(3.0)*(-7.0+x) ans = (-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)
factor函數(shù)分解一個表達(dá)式，simplify函數(shù)簡化一個表達(dá)式。以下示例演示了概念-
創(chuàng)建一個腳本文件并輸入以下代碼-
syms x syms y factor(x^3 - y^3) factor([x^2-y^2,x^3+y^3]) simplify((x^4-16)/(x^2-4))
運(yùn)行文件時，它顯示以下結(jié)果-
ans = (x - y)*(x^2 + x*y + y^2) ans = [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)] ans = x^2 + 4