MATLAB 微積分

MATLAB提供了多種方法來解決微分和積分問題，求解任意程度的微分方程式以及計(jì)算極限。最重要的是，您可以輕松求解復(fù)雜函數(shù)的圖，并通過求解原始函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)來檢查圖上的最大值，最小值和其他文具點(diǎn)。

本章將討論微積分的問題。在本章中，我們將討論預(yù)演算的概念，即計(jì)算函數(shù)的極限并驗(yàn)證極限的性質(zhì)。

在下一章微分中，我們將計(jì)算一個表達(dá)式的導(dǎo)數(shù)，并求出圖的局部極大值和極小值。我們還將討論求解微分方程。

最后，在“積分”一章中，我們將討論積分演算。

計(jì)算極限

MATLAB提供了limit用于計(jì)算極限的函數(shù)。limit函數(shù)以其最基本的形式將表達(dá)式作為參數(shù)，并在自變量變?yōu)榱銜r找到表達(dá)式的極限。

例如，讓我們計(jì)算函數(shù)的極限f(x)=（x ³ + 5）/（x ⁴ + 7），因?yàn)閤趨于零。

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB將執(zhí)行上述語句并返回以下結(jié)果-

ans =
   5/7

極限函數(shù)屬于符號計(jì)算領(lǐng)域。您需要使用syms函數(shù)來告訴MATLAB您正在使用哪些符號變量。您還可以計(jì)算函數(shù)的極限，因?yàn)樽兞口呄蛴诔阋酝獾哪硞€數(shù)字。為了計(jì)算lim _{x-> a}（f(x)），我們使用帶參數(shù)的limit命令。第一個是表達(dá)式，第二個是x逼近的數(shù)字，這里是a。

例如，讓我們計(jì)算函數(shù)的極限f(x)=(x-3)/(x-1)，因?yàn)閤趨于1。

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB將執(zhí)行上述語句并返回以下結(jié)果-

ans =
   NaN

讓我們再舉一個實(shí)例

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB將執(zhí)行上述語句并返回以下結(jié)果-

ans =
   14

使用Octave計(jì)算極限

以下是使用symbolic包的上述示例的Octave版本，請嘗試執(zhí)行并比較結(jié)果-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave將執(zhí)行以上語句并返回以下結(jié)果-

ans =
   0.7142857142857142857

極限基本屬性的驗(yàn)證

代數(shù)極限定理提供了極限的一些基本性質(zhì)。這些如下-

讓我們來看兩個函數(shù)-

• f(x) =（3x + 5）/(x-3)

• g(x)= x ² +1。

讓我們計(jì)算兩個函數(shù)的x趨于5的函數(shù)極限，并使用這兩個函數(shù)和MATLAB驗(yàn)證極限的基本屬性。

實(shí)例

創(chuàng)建一個腳本文件并在其中鍵入以下代碼-

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

運(yùn)行文件時，它顯示-

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

使用Octave驗(yàn)證極限的基本屬性

以下是使用symbolic包的上述示例的Octave版本，請嘗試執(zhí)行并比較結(jié)果-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave將執(zhí)行以上語句并返回以下結(jié)果-

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

左右限位

當(dāng)函數(shù)對某個特定值的變量具有不連續(xù)性時，此時不存在限制。換句話說，函數(shù)的極限f(x)在x = a處具有不連續(xù)性，這是因?yàn)楫?dāng)x的值從左側(cè)接近x時，極限值不等于x的值從右側(cè)接近時x極限值。

這導(dǎo)致了左手和右手極限的概念。左手極限定義為從x左邊開始的極限，即x-> a，即x接近a時，x <a的值。右手極限定義為從右開始x-> a的極限，即對于x> a的值，x接近a。當(dāng)左手極限和右手極限不相等時，該極限不存在。

讓我們看一個函數(shù)-

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

我們將顯示lim _{x-> 3} f(x)不存在。MATLAB通過兩種方式幫助我們建立這一事實(shí)-

• 通過繪制函數(shù)圖并顯示不連續(xù)性。

• 通過計(jì)算極限并顯示兩者是不同的。

左手和右手極限是通過將字符串“ left”和“ right”作為最后一個參數(shù)傳遞給limit命令來計(jì)算的。

實(shí)例

創(chuàng)建一個腳本文件并在其中鍵入以下代碼-

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

運(yùn)行文件時，MATLAB繪制以下圖

在此之后顯示輸出-

l =
   -1
  
r =
   1