MATLAB 微分

MATLAB提供了diff用于計算符號導(dǎo)數(shù)的命令。以最簡單的形式，將要區(qū)分的函數(shù)作為參數(shù)傳遞給diff命令。

例如，讓我們計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(t)= 3t 2 + 2t -2

在線示例

創(chuàng)建一個腳本文件并在其中鍵入以下代碼-

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

編譯并執(zhí)行上述代碼后，將產(chǎn)生以下結(jié)果-

ans =
6*t - 4/t^3

以下是上述計算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

鑒別基本規(guī)則的驗證

讓我們簡要說明各種方程或用于微分的規(guī)則，并驗證這些規(guī)則。為此，我們將為一階導(dǎo)數(shù)寫f'(x)，為二階導(dǎo)數(shù)寫f“(x)。

以下是區(qū)分規(guī)則-

規(guī)則1

對于任何函數(shù)f和g以及任何實數(shù)a和b是該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-

h(x) = af(x) + bg(x) 關(guān)于x由-

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

規(guī)則二

sum和subtraction規(guī)則指出，如果 f 和 g 是兩個函數(shù)，f’和 g’分別是它們的導(dǎo)數(shù)，那么,

（f + g)' = f' + g'

(f - g)' = f' - g'

規(guī)則三

product規(guī)則指出，如果f和g是兩個函數(shù)，則f'和g'分別是它們的導(dǎo)數(shù)，則，

(f.g)' = f'.g + g'.f

規(guī)則四

quotient規(guī)則指出，如果f和g是兩個函數(shù)，則f'和g'分別是它們的導(dǎo)數(shù)，則，

(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g2

規(guī)則五

polynomial或基本的功率規(guī)則指定，如果，那么y = f(x) = xnf' = n. x(n-1)

該規(guī)則的直接結(jié)果是，任何常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，即，如果y = k，任何常數(shù)，則

f' = 0

規(guī)則六

chain規(guī)則指出，相對于x，函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：h(x) = f(g(x))

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

實例

創(chuàng)建一個腳本文件并在其中鍵入以下代碼-

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

運行文件時，MATLAB顯示以下結(jié)果-

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)
 
   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3
  
f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
 
   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
  
f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
  
der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
 
f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
  
der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
  
f =
   (x^2 + 1)^17
  
der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16
  
f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
  
der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

以下是上述計算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 

f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

Octave執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

指數(shù)，對數(shù)和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

下表提供了常用的指數(shù)，對數(shù)和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-

函數(shù)
導(dǎo)數(shù)
ca.xca.x.lnc.a(ln是自然對數(shù))
exex
ln x1/x
lncx1/x.ln c
xxxx.(1 + ln x)
sin(x)cos(x)
cos(x)-sin(x)
tan(x)sec2(x), or  1/cos2(x),  或  1 + tan2(x)
cot(x)-csc2(x), or  -1/sin2(x), 或 -(1 + cot2(x))
sec(x)sec(x).tan(x)
csc(x)-csc(x).cot(x)

實例

創(chuàng)建一個腳本文件并在其中鍵入以下代碼-

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

運行文件時，MATLAB顯示以下結(jié)果-

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8
  
y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)
  
y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1
 
y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)
  
y =
   log(x)
   ans =
   1/x
  
y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))
 
y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)
 
y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
  
y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

以下是上述計算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic包不支持此功能
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

計算高階導(dǎo)數(shù)

為了計算函數(shù)f的高階導(dǎo)數(shù)，我們使用語法diff(f,n)。

讓我們計算函數(shù)y = f(x)= x的二階導(dǎo)數(shù).e -3x

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

以下是上述計算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

ans =

(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

實例

在這個實例中，讓我們解決一個問題。給定一個功能。我們將不得不找出方程是否成立。y = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x)f" + f = -5cos(2x)

創(chuàng)建一個腳本文件并在其中鍵入以下代碼-

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

運行文件時，它顯示以下結(jié)果-

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

以下是上述計算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           %定義函數(shù)
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %計算方程 lhs
rhs = -5*Cos(2*x);                 %方程式 rhs

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octave執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-(168.0)*cos((5.0)*x)

求曲線的最大值和最小值

如果要搜索圖形的局部最大值和最小值，則基本上是在函數(shù)圖上特定位置或符號變量值的特定范圍內(nèi)尋找最高點或最低點。

對于函數(shù)y = f(x)，圖上具有零斜率的點稱為stationary points（駐點/臨界點）。換句話說，固定點是f'(x)= 0。

為了找到我們求微分的函數(shù)的平穩(wěn)點，我們需要將導(dǎo)數(shù)設(shè)置為零并求解方程。

實例

讓我們找到函數(shù)的固定點f(x)= 2x 3 + 3x 2 ? 12x + 17

采取以下步驟-

首先讓我們進入函數(shù)并繪制它的圖形。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   %定義函數(shù)
ezplot(y)

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下圖表-

尋找最大值和最小值

這是上述示例的Octave等效代碼-

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

我們的目的是在圖上找到一些局部極大值和極小值，所以讓我們找到圖上區(qū)間[-2，2]的局部極大值和極小值。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下圖表-

尋找最大值和最小值

這是上述示例的Octave等效代碼-

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

接下來，讓我們計算導(dǎo)數(shù)。

g = diff(y)

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

這是上述計算的倍頻程-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octave執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

讓我們求解導(dǎo)數(shù)函數(shù)g，得到它變?yōu)榱愕闹怠?/p>

s = solve(g)

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

s =
   1
   -2

以下是上述計算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

Octave執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

g =

-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =

  -2
   1

這與我們的圖表是一致的，所以讓我們在臨界點 x = 1,-2來計算函數(shù) f。

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

ans =
   10
ans =
   37

以下是上述計算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)
ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

因此，函數(shù)的最小值和最大值f(x)= 2x 3 + 3x 2 ? 12x + 17，在[-2,2]區(qū)間中為10和37。

解微分方程

MATLAB提供了dsolve用于符號求解微分方程的命令。

dsolve查找單個方程式解的命令的最基本形式是

dsolve('eqn')

其中eqn是用于輸入方程式的文本字符串。

它返回帶有一組任意常量的符號解，MATLAB將其標(biāo)記為C1，C2等。

您還可以指定問題的初始條件和邊界條件，作為等式后的逗號分隔列表-

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)

出于使用dsolve命令的目的，導(dǎo)數(shù)用D表示。例如，像f'(t)= -2 * f +這樣的方程式cost(t)輸入為-

'Df = -2*f + cos(t)'

高階導(dǎo)數(shù)由D后面的導(dǎo)數(shù)順序表示。

例如，方程f“(x)+ 2f'(x)= 5sin3x應(yīng)該輸入為-

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

讓我們舉一個簡單的一階微分方程的實例：y'= 5y。

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

s =
   C2*exp(5*t)

讓我們拿一個二階微分方程的另一個實例為：y“-y = 0，y= -1，y'= 2。

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果-

ans =
   exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2
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